前回は、物体の運動を表す運動方程式を紹介しました。今回は、物体に生じる周期的な運動、すなわち振動について説明します。振動には、強制振動と、自由振動があります。本稿では、自由振動について解説します。
第2回「自由振動」を解説していきます。
第2回もくじ
1. 自由振動
外から周期的な力を加えたときに発生する振動を、強制振動というのに対して、自由振動とは、ばねを少し引っ張ってから手を離したときのように、外力が加わっていないのに発生する周期的な運動のことをいいます。機械には、振動が生じることがあります。振動の性質を明らかにすることは、機械の設計やメンテナンスのために非常に重要です。そもそも、機械には、なぜ振動が生じるのでしょうか？ その理由は、前回紹介した運動方程式にあります。
最も簡単な例として、図1のようにばねで保持されている物体、すなわち、ばね質量系を考えましょう。ここでは、物体の位置pは、ばねの平衡点（ばねが自然長となる位置）を基準としています。そのため、この物体に加わる力は、単純にkpになります。
この物体の運動方程式は下式のようになります。
この式を見ただけで、「なんだか振動が起こりそうだ」と想像できるでしょうか？ 読者の多くにとっては、難しいかもしれません。この微分方程式の解を求めると、以下のようになります。
ここで、Aとαは何らかの定数です。上式の、位置pと時刻tの関係をグラフで表すと、図2のようになります。このことから、位置pが時刻tの経過に伴って周期的に変動することが分かります。ここで、「式2のpが式1の解である」というのは、「式2で定義される時間関数pが式1を満たす」ということを意味します。つまり、式2で定義された振動的な時間関数pが式1を満たす、ということが、式1で振動が生じる原因となります。
ここで、図1のばね質量系には、外から何の振動も加わっていないということに注意してください。ばね（剛性）と質量（慣性）の組み合わせだけで、式2のような振動が発生してしまいます。前述したように、このような振動が、自由振動です。
なお、式2の中に出てくる√(k/m)の値を、固有角振動数といいます。その値は、質量とばね定数だけで決定されます。単位はrad/sで、1秒間に何ラジアン分動くかを表します。この√(k/m)の値が6.28rad/s（=2π）であれば、1秒間に1周期、つまり、1Hz（ヘルツ）で振動することを意味します。
振動の速さを表すのには、Hz（1秒間に何周期か）の方が、rad/s（1秒間に何ラジアンか）よりも分かりやすいかもしれません。しかし、運動方程式から出てくる値の単位はrad/sです。Hzに直すためには2πで割らなければなりません。単位として、rad/sとHzの両方を使わなければいけないというのは、工学における永遠の未解決問題かもしれません。
なお、通常は、角振動数、あるいは角周波数はrad/sを単位とする数値を表し、振動数、あるいは周波数はHzを単位とする数値を表します。
2. 減衰のある自由振動
次に図3 のような、ばね質量ダンパ系、つまり速度に比例する力を発生する要素（ダンパ）がある系を考えてみましょう。
図3のように、ばねが自然長となる位置を原点として位置pを定義すると、運動方程式は下記のようになります。
このダンパは、振動を抑制する効果を持ちます。なぜ、速度に比例する力を発生すると振動が抑制されるのでしょうか。それは上の式3からは分かりません。しかし、式の解を見れば分かります。
式3には2通りの解があります。まず、粘性係数cが2√mkより大きいとき（ダンパが十分にねっちょりしているとき）は、下記のようになります。
ここで、A 1 とA 2 は任意の定数です。また、exp(x)は、e x を意味します。自然対数の底e（=2.718・・・）の右肩に乗せる式が複雑になって見づらいときには、exp(x)の形を使います。
次に、粘性係数cが2√mkより小さいとき（ダンパがあまりねっちょりしていないとき）は、以下のようになります。
ここで、Aとαは任意の定数です。これらの2つの式の使い分けは、ルート（√ ）の中を正に保たないといけないという制約から生じたものです。そして、式5にc=0を代入すると、式2と同じ式が得られます。
ここで、式4と式5を、もう少しじっくり見てみましょう。式4の右辺は両方とも指数関数で、tについている部分が負の数です。そのため、pは時間の経過とともにゼロに収束します。この場合は振動が起こりません。つまり、ダンパが十分に強い場合、この系は振動しないということが（当たり前といえば当たり前とはいえ）数式で表されることになります。
一方、式5は、指数関数と三角関数の積になっています。このときの時間関数pをグラフで書くと、図4のように、時間とともに減衰していく振動になります。これを減衰振動と呼びます。つまり、速度に比例した力を発生するダンパの存在が、振動の減衰の直接の原因になっていることが分かります。
余談ですが、式5のルート（√）の中に着目してみましょう。c 2 －4mkとなっています。この形に見覚えはないでしょうか。中学校で習った2次方程式の判別式を思い出してください。2次方程式mx 2 +cx+k=0の判別式がルートの中身になっています。物体が振動するかしないかというのが、中学数学の2次方程式の解の公式と密接に関連しています。
3. 運動エネルギーと弾性エネルギー
全6回で下記の内容を解説しています。
- 第1回 運動方程式
- 第2回 自由振動
- 第3回 強制振動と周波数応答
- 第4回 多自由度系と振動モード
- 第5回 連続体の力学
- 第6回 剛体とリンク機構の力学
